Hình chiếu vô hướng

Hình chiếu vô hướng của a lên b là một vô hướng có giá trị bằng

a 1 = ‖ a ‖ cos ⁡ θ {\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta } ,

trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.

Hình chiếu vô hướng có thể được dùng làm hệ số nhân để tính hình chiếu vectơ tương ứng.

Hình chiếu vectơ

Hình chiếu vectơ của a lên b là một vectơ có độ dài bằng hình chiếu vô hướng của a lên b và có cùng phương với b. Cụ thể, nó được định nghĩa là:

a 1 = a 1 b ^ = ( ‖ a ‖ cos ⁡ θ ) b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }

trong đó a 1 {\displaystyle a_{1}} là hình chiếu vô hướng tương ứng được định nghĩa ở trên, còn b ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {b}} } là vectơ đơn vị cùng phương với b:

b ^ = b ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,}

Hình phản chiếu vectơ

Theo định nghĩa, hình phản chiếu vectơ của a lên b là vectơ:

a 2 = a − a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}

vì vậy,

a 2 = a − ( ‖ a ‖ cos ⁡ θ ) b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }